一、問題描述

給定兩個字符串，求解這兩個字符串的最長公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB。則這兩個字符串的最長公共子序列長度為4，最長公共子序列是：BCBA

二、算法求解

這是一個動態規劃的題目。對于可用動態規劃求解的問題，一般有兩個特征：①最優子結構；②重疊子問題

①最優子結構

設X=(x1,x2,...,xn)和Y=(y1,y2,...,ym)是兩個序列，將X和Y的最長公共子序列記為LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一個最優化問題。因為，我們需要找到X和Y中最長的那個公共子序列。而要找X和Y的LCS，首先考慮X的最后一個元素和Y的最后一個元素。

⑴如果xn=ym，即X的最后一個元素與Y的最后一個元素相同，這說明該元素一定位于公共子序列中。因此，現在只需要找：LCS(Xn-1,Ym-1)

LCS(Xn-1,Ym-1)就是原問題的一個子問題。為什么叫子問題？因為它的規模比原問題小。

為什么是最優的子問題？因為我們要找的是Xn-1和Ym-1的最長公共子序列啊。最長的！換句話說就是最優的那個。

⑵如果xn!=ym，這下要麻煩一點，因為它產生了兩個子問題：LCS(Xn-1,Ym)和LCS(Xn,Ym-1)

因為序列X和序列Y的最后一個元素不相等，那說明最后一個元素不可能是最長公共子序列中的元素。

LCS(Xn-1,Ym)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,...xn-1)和(y1,y2,...,ym)中找。

LCS(Xn,Ym-1)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,...xn)和(y1,y2,...,ym-1)中找。

求解上面兩個子問題，得到的公共子序列誰最長，那誰就是LCS(X,Y)。用數學表示就是：

LCS=max{LCS(Xn-1,Ym),LCS(Xn,Ym-1)}

由于條件⑴和⑵考慮到了所有可能的情況。因此，我們成功的把原問題轉化成了三個規模更小的問題。

②重疊子問題

重疊子問題是什么？就是說原問題轉化成子問題后，子問題中有相同的問題。

原問題是：LCS(X,Y)。子問題有❶LCS(Xn-1,Ym-1)❷ LCS(Xn-1,Ym)❸ LCS(Xn,Ym-1)

乍一看，這三個問題是不重疊的?？杀举|上它們是重疊的，因為它們只重疊了一大部分。舉例：

第二個子問題：LCS(Xn-1,Ym)就包含了問題❶LCS(Xn-1,Ym-1)，為什么？

因為，當Xn-1和Ym的最后一個元素不相同時，我們又需要將LCS(Xn-1,Ym-1)進行分解：分解成：LCS(Xn-1,Ym-1)和LCS(Xn-2,Ym)

也就是說：在子問題的繼續分解中，有些問題是重疊的。

由于像LCS這樣的問題，它具有重疊子問題的性質，因此：用遞歸來求解就太不劃算了。國為采用遞歸，它重復地求解了子問題，而且需要注意的是，所有子問題加起來的個數是指數級的。

那么問題來了，如果用遞歸求解，有指數級個子問題，故時間復雜度是指數級的。這指數級個子問題，難道用了動態規劃，就變成多項式時間了？？

關鍵是采用動態規劃時，并不需要去一一計算那些重疊了的子問題。或者說：用了動態規劃之后，有些子問題是通過“查表”直接得到的，而不是重新又計算一遍得到的。舉個例子：比如求Fib數列。

求fib(5)，分解成了兩個子問題：fib(4)和fib(3)，求解fib(4)和fib(3)時，又分解了一系列的小問題...

從圖中可以看出：根的左右子樹：fib(4)和fib(3)下，是有很多重疊的！比如，對于fib(2)，它就一共出現了三次。如果用遞歸來求解，fib(2)就會被計算三次，而用DP（Dynamic Programming）動態規劃，則fib(2)只會計算一次，其他兩次則是通過“查表”直接求得。而且，更關鍵的是：查找求得該問題的解之后，就不需要再繼續去分解該問題了。而對于遞歸，是不斷地將問題解，直到分解為基準問題（fib(0)或者fib(1)）

說了這么多，還是寫下最長公共子序列的遞歸式才完整。

C[i,j]表示：(x1,x2,...,xi)和(y1,y2,...,yj)的最長公共子序列的長度。公式的具體解釋可參考《算法導論》動態規劃章節

三、LCS Python代碼實現

#! /usr/bin/env python3# -*- coding:utf-8 -*-# Author : mayi# Blog : http://www.cnblogs.com/mayi0312/# Date : 2019/5/16# Name : test03# Software : PyCharm# Note : 用于實現求解兩個字符串的最長公共子序列def longestCommonSequence(str_one, str_two, case_sensitive=True): ''' str_one 和 str_two 的最長公共子序列 :param str_one: 字符串1 :param str_two: 字符串2（正確結果） :param case_sensitive: 比較時是否區分大小寫，默認區分大小寫 :return: 最長公共子序列的長度 ''' len_str1 = len(str_one) len_str2 = len(str_two) # 定義一個列表來保存最長公共子序列的長度，并初始化 record = [[0 for i in range(len_str2 + 1)] for j in range(len_str1 + 1)] for i in range(len_str1): for j in range(len_str2): if str_one[i] == str_two[j]:record[i + 1][j + 1] = record[i][j] + 1 elif record[i + 1][j] > record[i][j + 1]:record[i + 1][j + 1] = record[i + 1][j] else:record[i + 1][j + 1] = record[i][j + 1] return record[-1][-1]if __name__ == ’__main__’: # 字符串1 s1 = 'BDCABA' # 字符串2 s2 = 'ABCBDAB' # 計算最長公共子序列的長度 res = longestCommonSequence(s1, s2) # 打印結果 print(res) # 4

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